M217 - Análise Infinitesimal - 2013/2014 - 1S

Aula nº. 1 - 17/09/2013

Aula nº. 2 - 19/09/2013

Introdução ao estudo das equações diferenciais. Definições básicas. Equações ordinárias e equações de derivadas parciais. Soluções gerais e particulares de uma equação. Famílias de curvas associadas, exemplos. Equações de 1ªordem : equações de variáveis separadas. Equações diferenciais exactas. Métodos de resolução.

Aula nº. 3 - 24/09/2013

Equações exactas, exercícios. Funções homogéneas. Equações homogéneas e equações redutíveis a homogéneas. Outras equações redutíveies a equações de variáveis separadas.

Aula nº. 4 - 26/09/2013

Equações Lineares de 1ª ordem. Factores Integrantes Equações de Bernoulli. Equações de Ricatti.

Aula nº. 5 - 01/10/2013

Equações de Ricatti(continuação). Trajectórias ortogonais. Exemplos. Equações diferenciais de ordem superior. Alguns casos "fáceis" de resolver Exemplos.

Aula nº. 6 - 03/10/2013

Equações diferenciais de ordem superior. Alguns casos "fáceis" de resolver (continuação) Equações diferenciais Lineares. Notações básicas. Enunciado do teorema de existência e unicidade de soluções. A matriz de Wronski. O Wronskiano de uma família de funcões. Funções linearmente independentes. Critério de independência linear.Exemplos de funções linearmente independentes. Equações diferenciais lineares homogéneas Equações não homogéneas. Solução geral. Exemplos.

Aula nº. 7 - 08/10/2013

Espaço vectorial das soluções da equação homogénea. Soluções fundamentais( base do espaço)

Aula nº. 8 - 10/10/2013

Equações diferenciais lineares homogéneas de coeficientes constantes. Resolução de exercícios

Aula nº. 9 - 15/10/2013

O Wronskiano de um sistema fundamental de soluções. Diferenciabilidade da solução da equação homogénea. Referência ao Anel dos operadores lineares de coeficientes constantes. Algumas propriedades sobre o anel dos polinómios em IR. Relação com o anel dos operadores diferenciais. Polinómio característico de um operador linear de coeficientes constantes (Decomposição do operador em factores irredutíveis) Soluções de L(y) = 0 . Base de Ker L.

Aula nº. 10 - 17/10/2013

Soluções de L(y) = 0 . Base de Ker L. Estudo da equação (D – aI)^n(y) = 0 Estudo da equação {(D – aI)^2 +b^2I]^m (y) ) = 0. Resolução de exercícios.

Aula nº. 11 - 22/10/2013

Raízes racionais de polinómios de coeficientes inteiros. Método da variação das constantes para o cálculo de uma solução particular e sua justificação usando teoria de operadores lineares. Resolução de exercícios.

Aula nº. 12 - 24/10/2013

Determinação das soluções particulares. Método do polinómio aniquilador.( continuação) /variação das constantes.

Aula nº. 13 - 29/10/2013

Determinação das soluções particulares: Método da variação dos parâmetros ou método de Wronski Resolução de exercícios. Equações lineares de coeficientes não constantes. Resolução de equações diferenciais lineares por mudanças de parâmetro.Equações de Euler.

Aula nº. 14 - 31/10/2013

Pontos ordinários e pontos singulares de equações diferenciais lineares. Resolução de equações diferencias por séries de Potências. Exemplos.

Aula nº. 15 - 05/11/2013

Resolução de exercícios sobre equações diferenciais usando séries de potências na vizinhaça de pontos ordinários. Equação de Bessel . Referência ao método de Frobenius ( solução em série na vizinhaçan de pontos singulares). Transformadas de Lapace. Definição, propriedades. Transformadas de Laplace de algumas funções. Transformada inversa de Laplace.

Aula nº. 16 - 07/11/2013

Condições para que exista transformada de Laplace. Exercícios de aplicação. Mais propriedades da Transformada Tansformada da derivada. Transformada de função periódicas. Aplicação à resolução de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Exemplos

Aula nº. 17 - 12/11/2013

Transformada de Laplace de funções periódicas. Mais propriedades das transformadas de Laplace. Traansformada do Integral Função de Heaviside. Transformadas de Laplace da funçâo de Heaviside. 2º Teorema de translacção. Resolução de exercícios

Aula nº. 18 - 14/11/2013

Resolução de exercícios com a transformada de Laplace da Função de Heaviside. "Função Delta Dirac"

Aula nº. 19 - 19/11/2013

Justificação Física do método de Delta de Dirac. Exemplos. Integral de Convolução.Propriedades.

Aula nº. 20 - 21/11/2013

Integral de Convolução.Propriedades. Teorema de Convolução. Aplicações. Sistemas de Equações diferenciais.

Aula nº. 21 - 26/11/2013

Exercícios sobre sistemas de equações diferenciais. Integrais de linha de campos escalares. Exercícios e aplicações.

Aula nº. 22 - 28/11/2013

Integrais de linha de campos vectoriais. Aplicações e exemplos.

Aula nº. 23 - 03/12/2013

Propriedades dos integrais de linha. Integrais de linha independentes do caminho. Campos de gradientes. Abertos conexos por arcos. Teste para independência de caminho

Aula nº. 24 - 05/12/2013

Teste para independência de caminho em domínios simplesmente conexos ( demonstração do caso de domínios convexos). Teorema de Green. Aplicações. Cálculo da área de um domínio

Aula nº. 25 - 10/12/2013

Demonstração do Teorema de Green. Teorema de Green em Domínios multiconexos. Exemplos de aplicação. Casos particulares do teorema de Green.

Aula nº. 26 - 12/12/2013

Superfícies parametrizadas num espaço euclidiano. Exemplos. Exemplos de superfícies parametrizadas . Algumas considerações sobre superfícies no caso geral. Exemplos. Cálculo dos coeficientes da primeira forma fundamental. Área de uma superfície parametrizada e integral de superfície de uma funcão escalar.Interpretação geométrica. Exemplos. Parametrização de uma superfície dada pelo gráfico de uma função Cálculo da respectiva área. Exemplos.

Aula nº. 27 - 17/12/2013

Aula de dúvidas

Aula nº. 28 - 19/12/2013

Parametrização de uma superfície de revolução. Cálculo da respectivas área. Exemplos. Integral de superfície de uma função vectorial. Exemplos. Teorema da Divergência de Gauss. Teorema de Stokes. Exercícios.( Lei de Gauss)

Bibliografia Obrigatória

Madureira Luísa; Problemas de equações diferenciais ordinárias e transformadas de Laplace. ISBN: 978-972-752-124-1
Marsden Jerrold E.; Vector calculus. ISBN: 7167-4992-0

Bibliografia Complementar

Braun M.; Differential equations and their applications. ISBN: 0-387-90114-0
Bronson Richard; Moderna introdução às equações diferenciais
Swokowski Earl W.; Calculo com geometria analitica. vol. i. 2ª ed. trad. ISBN: 85-346-0308-1
Young Eutiquio C.; Vector and tensor analysis. ISBN: 0-8247-6671-7
Boyce William E.; Elementary differential equations and boundary value problems. ISBN: 0-471-31999-6 
Marsden Jerrold; Calculus iii. 2nd ed. ISBN: 0-387-90985-0